Shor算法:量子计算破解数学难题的 "密钥"

2025.04.07 · 技术博客

Shor 算法由美国数学家兼计算机科学家彼得・舒尔（Peter Shor）于 1994 年提出，是首个真正展现量子计算超越经典计算能力的算法之一。它的核心目标是解决经典计算机难以高效处理的 “整数分解问题” 和 “离散对数问题”—— 这两类问题是现代密码学的基石。

在经典计算中，分解一个大整数（如将 N = p×q 分解为两个质数 p 和 q）或求解离散对数（如在有限域中已知 g^x = h mod p,求 x）的时间复杂度是指数级的

这意味着随着数值增大，计算时间会呈爆炸式增长。而 Shor 算法利用量子计算机的量子并行性和量子傅里叶变换，将这两类问题的时间复杂度降低至多项式级：

从而让原本 “不可行” 的计算变得 “可行”。

量子叠加态与并行计算：量子比特（qubit）可以同时处于 ∣0⟩ 和 ∣1⟩ 的叠加态，一个包含 n 个量子比特的系统能同时表示 2n 个状态。通过构造特定的量子电路，Shor 算法能并行计算大量函数值（例如对 $$a^x$$ mod N 进行周期性分析），这相当于让经典计算机同时运行数百万个线程，而量子计算机只需一步操作即可完成。
量子傅里叶变换（QFT）：经典傅里叶变换用于分析信号的频率成分，而量子傅里叶变换能在量子态空间中高效提取周期性信息。Shor 算法的关键步骤是将整数分解问题转化为求解函数 f (x) = $$a^x$$ mod N 的周期 r—— 若能找到 r，则可通过数学变换（如利用欧拉定理）分解 N。QFT 在此过程中起到 “放大镜” 的作用，将周期信息从叠加态中 “提取” 出来，转化为经典计算机可处理的结果。

简单来说，Shor 算法的流程可分为两步：

Shor 算法的颠覆性在于它直接攻击了现代密码学的两大支柱：

破解 RSA 加密算法： RSA 加密的安全性依赖于 “大整数分解困难性”—— 若能快速分解 N=p×q，则可从公钥反推出私钥。经典计算机分解一个 2048 位的整数需要数百万年，而 Shor 算法理论上可在数小时内完成（假设量子计算机拥有足够多且稳定的量子比特）。
威胁椭圆曲线加密（ECC）： ECC 的安全性基于 “离散对数问题”（如在椭圆曲线群中求解 kP=Q 中的 k）。Shor 算法同样能以多项式时间解决离散对数问题，这意味着基于椭圆曲线的加密协议（如 TLS、比特币区块链）也将失去安全性。

除了密码学，Shor 算法在其他领域也有潜在应用，例如：

尽管目前量子计算机尚未达到实用化规模（例如需要数千个逻辑量子比特和高效的错误校正技术），但 Shor 算法的存在已迫使全球重新审视信息安全体系：

后量子密码学的兴起：各国正加速研发抗量子加密算法，例如基于格理论（Lattice-Based）、哈希函数（Hash-Based）或多变量多项式的加密方案，这些算法的安全性不依赖于整数分解或离散对数问题。
数据长期安全的挑战：当前加密存储的数据（如医疗记录、政府文件）可能在未来量子计算机成熟后被破解，因此需要提前规划 “量子安全” 的加密迁移策略。
量子技术的双刃剑：Shor 算法证明了量子计算并非 “万能”，但在特定领域（如密码分析）具有碾压性优势，这推动了量子计算与密码学的攻防竞赛。